Division de (3n - 1) par (n + 2) - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Déterminer, en fonction de \(n\) , le reste dans la division euclidienne de \(3n-1\) par \(n+2\) .

Solution

On note \(r\) le reste dans la division euclidienne de \(3n-1\) par \(n+2\) . On remarque que :

• \(3n-1=3(n+2)-7\) et cette égalité ne peut pas être une division euclidienne,
  car \(-7<0\) .
• \(3n-1=2(n+2)+n-5\) et : 
  \(0 \leqslant n-5 < n+2\ \ \Longleftrightarrow \ \ n \geqslant 5 \ \text{et} \ -5<2\)   
  donc cette égalité est la division euclidienne de \(3n-1\) par \(n+2\) lorsque \(n \geqslant 5\) .
• \(3n-1=(n+2)+2n-3\) et : 
  \(0 \leqslant 2n-3 < n+2\ \ \Longleftrightarrow \ \ n \geqslant \frac{3}{2} \ \text{et} \ n<5\)   
  donc cette égalité est la division euclidienne de \(3n-1\) par \(n+2\) lorsque \(2 \leqslant n \leqslant 4\) .

Il reste à traiter les cas \(n=0\) et \(n=1\) :

• si \(n=0\) , alors \(3n-1=-1\) et \(n+2=2\) ;
  et on a \(-1=2 \times (-1)+1\) donc \(r=1\) ;
• si \(n=1\) , alors \(3n-1=2\) et \(n+2=3\) ;
  et on a \(2=3 \times 0+2\) donc \(r=2\) .

En résumé, concernant la division euclidienne de \(3n-1\) par \(n+2\) :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n& 0& 1& 2 \leqslant n \leqslant 4& n \geqslant 5\\ \hline\text{Quotient}& -1& 0& 1& 2\\ \hline\text{Reste}& 1& 2& 2n-3& n-5\\ \hline\end{array}\end{align*}\)